확률분포와 확률함수

Overview

2020/12/29 - [수학/확률과 통계] - 확률변수(Random Variable)

확률변수는 표본공간 S에 정의된 실함수이다. 확률변수 값($x$)은 실험에 따라 달라지기 때문에 비결정적(non-deterministic)이지만 나올 수 있는 값들과 그 가능성은 미리 생각해 볼수 있다.

확률분포란 확률변수 값($x$)에 해당하는 사건들 발생 확률의 분포를 말한다. 즉 확률변수 $X$의 확률분포는 모든 가능한 확률변수 값($x$)에 대해 그 확률을 명시하는 것이다. 그리고 모든 확률변수는 반드시 대응하는 확률분포가 존재한다.

확률분포(probability distribution)

말을 어렵게 했지만 확률분포는 그렇게 어려운 개념이 아니다. 확률분포를 동전 던지기로 알아보자. 확률변수 X를 동전을 두 번 던져 앞이 나오는 횟수라고 정의하자. 그렇다면 등장 가능성이 있는 확률변수 값은 0, 1, 2가 된다. 그리고 각 상황은 아래와 같다.

• $x=0$ -> 동전을 두 번 던져 모두 뒤가 나오는 경우($p(0) = 1/4$)
• $x=1$ -> (앞,뒤), (뒤,앞)이 나오는 경우($p(1) = 1/2$)
• $x=2$ -> 앞이 두 번 연달아 나오는 경우($p(2) = 1/4$)

그리고 위 확률분포를 정리한 표를 확률분포표라고 한다. 

표의 구조를 보자면 아래와 같이 나타난다.

확률변수의 이름(x)	확률변수의 값	확률변수의 값	확률변수의 값
확률함수(= P(x))	분포 확률	분포 확률	분포 확률

윗 줄은 확률변수의 이름과 확률 변수 집합의 원소들(=확률변수가 취하는 값들)이 들어간다.
아랫 줄은 확률을 나타내며 확률변수 값들에 대응한다. (당연한 이야기지만 분포 확률들의 합은 1이다.)

확률 함수는 확률변수에 의해 정의된 실수를 확률에 대응시키는 함수를 말한다. 즉 P(x)는 이미 확률변수로 정의된 실수값을 한 번 더 변경하는데 이번에는 값의 범위가 [0,1]인 확률에 해당하는 것이다.

확률함수(probability function)

그럼 이제 확률을 표현하는 확률함수에 대해 보다 자세히 이야기 해보자. 참고로 여기서 다루는 확률은 경험적 확률인 아닌 수학적 확률이다. 확률함수$P$는 아래 조건을 모두 만족하는 함수이다.

1. 모든 사건 $A∈P(Ω)$ 에 대해서 $0≤p(A)≤1$

2. $p(Ω)=1$

3. 사건 $A,B∈P(Ω)$가 교집합이 없으면, $p(A∪B)=p(A)+p(B)$(덧셈 원리)

Ω는 표본공간. P(Ω)는 Ω의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합이다. 즉 P(Ω)의 원소는 Ω의 부분집합이다. 참고로 표본공간의 원소가 n개가 있으면 P(Ω)의 크기는 $2^n$이다.

$$A⊂Ω⇔A∈P(Ω)$$

사건 A가 표본공간 Ω의 부분집합이라면 사건A는 P(Ω)의 한 원소이다. (표본공간 Ω의 부분집합 ⇔ 사건 A는 P(Ω)의 한 원소)

주사위를 던져 눈을 관찰하는 경우, 표본공간은 $Ω=\{{⚀,⚁,⚂,⚃,⚄,⚅}\}$이다. 그리고 확률 함수는 다음과 같이 나타난다. 

$$p(\{⚀\})=1/6,p(\{⚁\})=1/6,p(\{⚂\})=1/6,p(\{⚃\})=1/6,p(\{⚄\})=1/6,p(\{⚅\})=1/6$$
$$p(\{⚀,⚁\})=1/3,\ ⋯,\ p(\{⚁,⚂,⚃,⚄,⚅\})=5/6,\ p(\{⚀,⚁,⚂,⚃,⚄,⚅\})=1$$

Conclusion

지금까지, 다룬 확률변수, 확률분포 그리고 확률함수의 관계를 정리하면 아래와 같다.

1. 확률변수가 발생가능한 결과 표본 공간에서 표본들을 실수 공간의 실수(수치값)으로 대응한다.
2. 대응된 실수값은 다시 확률함수를 걸쳐서 [0,1]의 실수값을 가진다.

정리히자면, 확률 함수는 확률 변수가 일어날 확률을 나타내는 함수이므로, 우리가 어떤 확률 변수의 확률 함수를 알고 있다면, 손쉽게 관심이 있는 사건의 발생 확률을 계산 할 수 있다.