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Overview 지금까지는 확률변수를 하나만 생각하며 이야기는 나누었다. 그럼 2개 혹은 그 이상일때에는 어떻게 될까? 확률변수 $X$, $Y$와 이에 대응하는 확률밀도함수가 $f(X), f(Y)$가 주어질때, 두 변수를 모두 고려한 확률밀도함수는 $f(X,Y)$로 표현할 수 있다. 그리고 이것이 바로 결합확률밀도함수(joint probability density function) 이다. 아래는 두 이산형의 확률변수의 표현식. 참고로 결합확률질량함수라고도 부른다. 아래는 연속형인 경우의 표현식 (A는 x,y에 걸쳐 관심이 있는 사건영역) 결합누적분포함수(joint cumulative distribution function)는 자연스럽게 다음과 같다. 결합확률질량함수(joint probability den..

확률밀도함수 (probability density function) 어떤 사건의 확률함수를 표현할 때, 표현해야할 사건의 갯수는 표본공간의 크기에 따라 기하급수적으로 증가한다. 예를 들어, 총 표본공간의 크기가 6인 주사위 실험의 경우는 표본집합의 부분집합의 갯수 64개 $2^6$에 대응하는 확률함수가 존재한다. 따라서 우리는 효과적으로 확률함수를 표현할 방법이 필요하다. 사실 확률함수의 세 번째 성질인 덧셈 원리를 활용하면, 각 표본에 대한 함숫값을 정해주는 것만으로 효과적으로 확률함수를 표현할수 있다. 그것이 앞으로 설명할 확률밀도함수이다. 임의의 확률밀도함수 $f(x)$는 확률함수의 성질을 그대로 따른다. 모든 실수 $x$에 대하여, $f(x)\ge0$ 확률 변수 $X$가 취하는 값 $x_1, x_..

Overview 2020/12/29 - [수학/확률과 통계] - 확률변수(Random Variable) 확률변수는 표본공간 S에 정의된 실함수이다. 확률변수 값($x$)은 실험에 따라 달라지기 때문에 비결정적(non-deterministic)이지만 나올 수 있는 값들과 그 가능성은 미리 생각해 볼수 있다. 확률분포란 확률변수 값($x$)에 해당하는 사건들 발생 확률의 분포를 말한다. 즉 확률변수 $X$의 확률분포는 모든 가능한 확률변수 값($x$)에 대해 그 확률을 명시하는 것이다. 그리고 모든 확률변수는 반드시 대응하는 확률분포가 존재한다. 확률분포(probability distribution) 말을 어렵게 했지만 확률분포는 그렇게 어려운 개념이 아니다. 확률분포를 동전 던지기로 알아보자. 확률변수 X..

확률변수의 정의와 종류 확률변수(random variable)는 그 이름과는 다르게 변수가 아니라 함수이다. 표본공간의 표본을 실수값으로 바꾸는 실함수($X:Ω→R$)가 바로 확률변수(random variable)이다. 다르게 말하자면, 발생하는 사건들에 대응하는 수치 값을 부여하는 함수를 말한다. 확률변수 X는 표본공간 S에 정의된 실함수(real-valued function; $X:Ω→R$)이다. 확률 변수의 종류에는 크게 이산확률 변수와 연속확률 변수가 있다. 이산확률 변수(Discrete Random Variable) 이산확률변수 X가 어떤 구간의 모든 실수 값을 택하지 않고, 0,1,2 … 와 같은 고립된 값을 택한다. 이산확률변수 X가 취하는 값에 대해 확률을 대응시켜주는 함수는 확률분포함수(..

배경지식 확률 - 오랜시간동안 경험적으로 쌓아온 확률현상에 대한 경험적 인식을 바탕으로 이론화한 학문. 통계 - 자료를 수집한 뒤 분석, 해석 및 표현을 다루는 수학의 한 분야. 사실 확률과 통계는 서로 별개의 학문이다. 사실 확률을 공부하기 위해선 통계를 몰라도 되지만, 반대로 통계를 이해하려면 확률을 알아야 한다. 그래서 우리가 확률과 통계를 묶어서 동시에 공부하게 된다. 우리가 알고 싶은 어떤 특정 모집단의 연구를 위해 일반적으로 아래와 같은 절차를 따르게 된다. 모집단 -> 확률 -> 표본 -> 통계적추론 -> 모집단 모집단에서 특정 확률로 실제 표본을 관측 관측된 표본에서 통계적 추론으로 모집단을 추론 모집단(population) - 연구자가 연구할 대상/효과 집단. 궁극적으로 연구자가 알고 싶..